A final da edição trinta e cinco das Olimpíadas da Matemática começou esta quarta-feira e dura até ao próximo sábado na Escola Secundária de Emídio Navarro, em Viseu. Noventa alunos, do 1º ao 12º anos, vão sentar-se à secretária para resolver três exercícios de matemática propostos pela Sociedade Portuguesa de Matemática (SPM). Têm três horas para resolver três exercícios sem apoio de máquinas de calcular. Em cima da secretária cabem apenas o enunciado, uma folha de rascunho, uma caneta e, quanto muito, uma garrafa de água . E sem rótulo, para não haver espaço para cábulas. É assim que a SPM espera despertar o interesse pelas ciências exatas e, quem sabe, detetar “vocações científicas” precoces.

Mas será que também tem essa vocação? O Observador percorreu os enunciados das finais das Olimpíadas da Matemática entre os anos letivos 2004/2005 e 2015/2016. Recolhemos dezasseis exercícios que foram apresentados aos alunos do ensino secundário. Se conseguir resolver pelo menos três destes exercícios num prazo máximo de três horas e sem recorrer à calculadora, poderia vencer um dos campeonatos de matemática mais reconhecidos do ensino em Portugal. Uma pista: não se preocupe demasiado com as contas. É a “qualidade do raciocínio, a criatividade e a imaginação dos estudantes” que mais importa nestes problemas.

Mais tarde vamos dar-lhe as soluções dos problemas. Desta vez não estarão no final do artigo, para que não tenha a tentação de espreitar sorrateiramente as respostas. Esteja atento ao próximo texto, nos artigos relacionados (consulte no fim deste artigo) já com os problemas resolvidos. Bom trabalho!

Problemas

Um número de três algarismos diz-se firme se for igual ao produto do seu algarismo das unidades por um número formado pelos restantes algarismos. Por exemplo, 153 é firme porque 153 = 3 × 51. Quantos números firmes existem?

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O navio Meridiano do Bacalhau faz a sua campanha de pesca durante 64 dias. Em cada dia, o capitão escolhe um sentido de navegação, norte ou sul, e o barco navega nesse dia apenas nesse sentido. No primeiro dia da campanha o barco navega 1 milha, no segundo dia navega 2 milhas, e mais geralmente, no dia n navega n milhas. No final dos 64 dias, o barco estava a 2014 milhas a norte do ponto de partida da campanha. Qual é o número máximo de dias em que o navio pode ter navegado para sul?

A Amélia e a Beatriz jogam à batalha naval num tabuleiro quadrado com 2n casas de lado, usando regras muito peculiares. O jogo começa com a Amélia a escolher n linhas e n colunas do tabuleiro, colocando em seguida os seus n2 submarinos nas casas que ficam na sua interseção. De seguida, a Beatriz escolhe um conjunto de casas para torpedear. Qual é o número mínimo de casas que a Beatriz tem de escolher para ter a certeza de acertar em, pelo menos, um submarino?

Três veraneantes, A, B e C, costumam fazer uma corrida matinal numa praia de Albufeira. Num certo dia, encontraram-se num ponto da praia e começaram a correr ao mesmo tempo, cada um ao seu ritmo, que mantiveram durante toda a corrida. Cada vez que chegavam a um dos extremos da praia, invertiam o sentido. Cada par de corredores nunca se encontrou nos extremos da praia. No momento em que A, B e C estavam novamente todos juntos, decidiram terminar a corrida. Para além dos momentos inicial e final, A encontrou B seis vezes e encontrou C oito vezes. Quantas vezes se encontraram B e C?

Na República do Unistão existem n estradas nacionais, cada uma ligando exatamente duas cidades, sendo sempre possível viajar entre quaisquer duas cidades percorrendo uma sequência de estradas. O Presidente do Unistão mandou numerar as estradas nacionais de 1 até n, lembrando uma lei antiga: sempre que uma cidade seja servida por mais do que uma estrada, o máximo divisor comum dos seus números tem que ser um. Mostra que é possível numerar as estradas sem violar a lei.

A Helena e o Luís vão jogar um jogo com dois sacos de berlindes. Eles jogam alternadamente e cada jogada consiste num dos seguintes movimentos:

  • Retirar um berlinde de um dos sacos;
  • Retirar um berlinde de cada um dos sacos;
  • Passar um berlinde de um saco para o outro.

Ganha quem deixar ambos os sacos vazios. Antes de começar a jogar, a Helena contou os berlindes de cada um dos sacos e disse ao Luís: “Podes começar tu!”, enquanto pensava: “Assim vou ganhar de certeza!”. De que formas poderiam estar distribuídos os berlindes pelos sacos?

Um número de telefone de nove algarismos abcdefghi é memorizável se a sequência dos quatro algarismos iniciais abcd se repete na sequência dos cinco algarismos finais efghi. Quantos números memorizáveis de nove algarismos existem?

Na Capela dos Ossos estão várias velas do mesmo tamanho. No primeiro dia acende-se uma vela durante uma hora. No segundo dia, acendem-se duas velas, durante uma hora, no terceiro dia acendem-se três velas, durante uma hora, e assim sucessivamente, até ao último dia, em que se acendem todas as velas, durante uma hora. No fim desse dia, todas as velas ficam completamente gastas. Determina todas as possibilidades para o número de velas.

Em cada dia, mais de metade do habitantes de Évora come sericaia à sobremesa. Mostra que há um grupo de 10 eborenses tais que, nos últimos 2010 dias, em cada dia pelo menos um deles comeu sericaia à sobremesa.

Dividiu-se uma circunferência em n partes iguais. Em cada uma destas partes foi colocado um único número de 1 a n de modo que a distância entre números consecutivos é sempre a mesma. Os números 11, 4 e 17 ficaram em posições consecutivas. Em quantas partes se dividiu a circunferência?

O Duarte quer desenhar um quadrado com 2009 cm de lado, dividido em 2009 × 2009 quadrículas de lado 1 cm, sem levantar o lápis. Partindo de um canto do quadrado, qual é o comprimento da linha mais curta que permite fazer este desenho?

O Nelson desafia a Telma para o seguinte jogo: primeiro a Telma retira 29 números do conjunto {0, 1, 2, 3, …, 1024}, em seguida o Nelson retira 28 números dos restantes. Depois a Telma retira 27 números e assim sucessivamente, até restarem apenas 2 números. O Nelson terá de dar à Telma a diferença entre estes dois números em euros. Qual é a maior quantia que a Telma pode ganhar independentemente da estratégia do Nelson?

O João tinha pérolas azuis, brancas e vermelhas e com elas construiu um colar com 20 pérolas que tem tantas pérolas azuis como brancas. O João reparou que, independentemente do modo como cortasse o colar em duas partes, ambas com um número par de pérolas, uma das partes teria sempre mais pérolas azuis do que brancas. Quantas pérolas vermelhas tem o colar do João?

A rua do António tem 100 casas numeradas de 1 a 100. Qualquer casa numerada com a diferença dos números de duas casas da mesma cor é de uma cor diferente. Mostra que na rua do António há casas de, pelo menos, cinco cores diferentes.

O Alexandre e o Herculano estão na estação de Campanhã à espera do comboio. Para se entreterem, decidem calcular o comprimento de um comboio de mercadorias que passa pela estação sem alterar a velocidade. Quando a frente do comboio passa por eles, o Alexandre começa a andar no sentido do movimento do comboio e o Herculano começa a andar no sentido oposto. Os dois caminham à mesma velocidade e cada um deles pára no momento em que se cruza com o fim do comboio. O Alexandre andou 45 metros e o Herculano 30. Qual é o comprimento do comboio?

Numa fila para um concerto do Super Rock Pop estavam 2005 pessoas.Com o objectivo de oferecer 3 entradas para o “backstage”, pediu-se à primeira pessoa da fila que gritasse “Super”, à segunda “Rock”, à terceira “Pop”, à quarta “Super”, à quinta “Rock”, à sexta “Pop” e assim sucessivamente. Quem disse “Rock” ou “Pop” foi eliminado. Repetiu-se este processo, sempre a partir da primeira pessoa da nova fila, até restarem apenas 3 pessoas. Em que posição se encontravam no início essas pessoas?