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8 factos matemáticos que o podem deixar algo confuso. São mesmo para especialistas (ou talvez não)

Vamos espantar os fantasmas da matemática, essa matéria que pode ser estonteante - muitas vezes no bom sentido da palavra. Saiba (e compreenda) 8 factos matemáticos muito curiosos.

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Wikimedia Commons

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Os dias de máquina calculadora, gráficos desenhados em papel quadriculado e cálculos probabilísticos podem ser um verdadeiro inferno para alguns, mas diz quem adora o mundo dos números que a matemática guarda pormenores fora de série, capazes de conquistar o coração até dos mais céticos. É precisamente sobre esses pormenores que vamos falar hoje: compreenda 8 factos matemáticos que mostram a magia da matemática em ação.

O problema de Monty Hall

Imagine que está num programa de televisão a tentar ganhar um carro de primeira gama. O apresentador mostra-lhe três portas. Atrás de uma delas está o carro, mas nas outras duas está uma cabra. O leitor escolheu uma porta e o apresentador abre uma das outras duas que não foram escolhidas. Atrás dela está uma cabra. Então o apresentou pergunta: “Quer trocar a porta que escolheu ou quer manter a sua primeira escolha?”. Qual será a melhor decisão?

A maior parte das pessoas escolhe manter a primeira escolha: afinal de contas, a probabilidade de ganhar o carro é de 50%, a mesma que a de o perder. Mas a matemática comprova que a melhor decisão é sempre trocar.

Um jogador que escolhe trocar perde apenas quando a porta que inicialmente escolheu dá acesso ao carro. Como a probabilidade de escolher o carro na primeira oportunidade é de um em três, as probabilidades de perder o jogo ao trocar sempre também é de um em três. Isto significa que uma pessoa que troque todas as vezes ganhará em dois terços das vezes.

Vamos supor que começa por escolher a porta 1. Os cenários possíveis estão aqui em baixo e comprovam que, se permanecer com a porta escolhida à primeira, ganha em 1/3 das vezes, enquanto se trocar ganhará em 2/3 das vezes.

Porta 1 Porta 2 Porta 3 Resultado com a porta 1 Resultado se trocar de porta
Carro Cabra Cabra Carro Cabra
Cabra Carro Cabra Cabra Carro
Cabra Cabra Carro Cabra Carro

0,999(9) = 1

O número 0,999(9) – aquele parêntesis em matemática significa que o número que eles ladeiam se repete infinitamente – é um número decimal que é uma dízima periódica simples. A matemática diz que este número equivale ao número real 1 através de várias formulações matemáticas, uma das quais pode ser representada da seguinte maneira:

Considere x = 0,999(9). Sabendo que 10x = 9,999(9), então 10x – x = 9,999(9) – 0.999(9). Logo 9x = 9 e portanto x=1.

Porque é que parece tão simples de provar matematicamente, mas nos parece tão disparatado ao mesmo tempo? Porque 0,999(9) obriga-nos a pensar na ideia do infinito e com limites, dois conceitos científicos que não estamos habituados a conceber mentalmente. O nosso cérebro é demasiado simples para isso. Ainda assim, quer mais uma prova? Ora veja:

Se 1/3 = 0,333(3), então 3 × 1/3 = 3 × 0,333(3). Como 3 × 1/3 = 1, então 1 = 0,999(9).

Há tantos números pares como números naturais

Primeiro, vamos às explicações. Os números naturais são todos aqueles que aprendemos a contar assim que tomamos contacto com a matemática, ou seja, o 1, 2, 3 e por aí adiante; e os números pares são todos aqueles que, se forem divididos por 2, resultam em números inteiros. Ora, sabemos que os números são infinitos e que se podem dividir entre números pares e números ímpares, por isso seria normal que achássemos que o número de números pares é metade do número de números naturais. Só que não é: há tantos números pares como números naturais.

Se fizermos corresponder um número par por cada número natural, percebemos que podemos fazer isso infinitas vezes. Todos os números naturais têm um número correspondente que é o seu dobro, assim como todos os números pares têm um número natural correspondente que é metade dele. Ora veja:

Número natural Número par
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
6 12
7 14
8 16
9 18
10 20

Como para cada número natural há um número par correspondente, então cada lista infinita desses número têm o mesmo tamanho: são chamados conjuntos contáveis. Os conjunto incontáveis são as listas de números que não têm qualquer correspondência entre si, como os números naturais e os números reais (todos os número naturais, inteiro, racionais e irracionais).

Lei de Benford

A Lei de Benford, redigida por Frank Benford em 1938, prova que o número 1 é o primeiro dígito a aparecer em 30% de todos os números reais (todos os números que existem no mundo). Esse fenómeno é descrito por ele como “uma pluralidade do tempo”. Os outros número (entre 1 e 9) aparecem como primeiro nos outros números reais de acordo com a seguinte distribuição:

Parece uma mera curiosidade matemática, mas esta distribuição pode ser muito útil para identificar situações em que determinados dados foram falsificados, como em eleições fraudulentas ou dados económicos falsos.

Paradoxo da caixa de Bertrand

Há três caixas em cima da mesa, cada uma delas com dois compartimentos. Uma das caixas tem duas barras de ouro, a outra caixa tem duas barras de prata e a terceira tem uma barra de ouro e uma barra de prata. O leitor escolhe uma caixa e abre um dos seus compartimentos. Se dentro desse compartimento estiver uma barra de ouro, qual é a probabilidade do outro compartimento, por abrir, ter também uma barra de ouro?

A tendência é a de pensar que essa probabilidade é de 1 em 2 porque, visto que só há duas caixas com barras de ouro, só temos de escolher entre essas duas caixas. Como uma dessas caixas tem também uma barra de prata, a probabilidade é de metade. Mas não é assim. Para melhor explicar como funciona este exercício vamos pensar neste esquema:

caixas

Agora, vamos enumerar todas as combinações possíveis:

Primeira escolha O outro lado
Ouro 1 Ouro 2
Ouro 2 Ouro 1
Prata 1 Prata 2
Prata 2 Prata 1
Ouro 3 Prata 3
Prata 3 Ouro 3

Para chegar a uma reposta temos de nos fixar nas hipóteses onde a primeira escolha é uma barra de ouro – primeiro, segundo e quinto casos. Isto significa que há uma probabilidade de 2/3 de o outro lado conter uma barra de ouro, visto que a primeira escolha foi uma barra de ouro também. Em cada três tentativas, duas são barras de ouro porque, em duas das três vezes que se escolheu outra barra de ouro, essa barra era a Ouro 1 ou Ouro 2. Depois, escolhe-se uma barra de prata em cada 3 tentativas porque uma em cada três vezes que se escolheu uma barra de ouro ela era a número 3.

Primeira escolha O outro lado
Ouro 1 Ouro 2
Ouro 2 Ouro 1
Ouro 3 Prata 3

Os seus amigos são mais populares

Em termos matemáticos, os parceiros sexuais da maior parte das pessoas têm, em média, um maior número de parceiros sexuais que essas pessoas. E isto justifica-se com as propriedades científicas das redes sociais que foram estudadas em 1991 por Scott L. Feld e que permitiram concluir que, em média, os amigos da maior parte das pessoas têm mais amigos que elas.

Vamos imaginar que trabalha num escritório com 20 pessoas. Algumas dessas pessoas mantêm amizades, que são representadas neste gráfico por uma linha preta. A bola preta representa o próprio leitor.

esquema escritorio

Tendo este esquema em mente percebemos que, em média, cada pessoa tem 2,85 amigos. Mas, a média de amigos que um amigo de uma destas pessoas tem é de 3,39. Aqui em baixo, circundadas a vermelho, estão as pessoas que têm mais amigos que a média. São, portanto, as mais populares: 17 das 20 pessoas do escritório são amigas de pelo menos uma delas.

circulo vermelho

E isto é bastante fácil de confirmar nas redes sociais virtuais: se reparar, é mais provável que encontre “amigos” no Facebook, no Twitter ou no LinkedIn com mais ligações que o leitor do que “amigos” com menos seguidores. É mais provável que nos tornemos amigos de pessoas com muitos amigos do que com poucos amigos. Algo que também acontece com os parceiros sexuais.

O paralelogramo perfeito

Desenhe um polígono qualquer com quatro lados. Pode ter qualquer formato: ângulos apertados, lados gigantescos, côncavos ou convexos, pouco importa. Precisa apenas de ter quatro lados retos. Já está? Agora marque o ponto médio de cada lado e ligue esses pontos: surpresa! Um paralelogramo perfeito aparece sempre e em qualquer circunstância.

Os três prisioneiros

Há três prisioneiros em três celas diferentes, todos no corredor da morte. O presidente escolhe um aleatoriamente para ser perdoado e informa o guarda de quem é o sortudo. Agora, o guarda é o único a saber a decisão do presidente. O prisioneiro A pede ao guarda que lhe diga qual dos outros dois prisioneiros – B e C – vai ser executado: “Se o B for perdoado, diga-me o nome de C. Se C for perdoado, diga-me o nome de B. Se eu for perdoado, jogue uma moeda ao ar para decidir qual dos nomes, B ou C, dizer”. O guarda diz a A que B vai ser executado.

Ora, o prisioneiro A ficou feliz porque pensa que a probabilidade de sobreviver subiu de 1/3 para 1/2, porque agora apenas A e C podem ser perdoados. O prisioneiro A conta isto ao prisioneiro C, que ficou ainda mais feliz porque pensa que, enquanto A tem uma probabilidade de 1/3 de sobreviver, então C tem uma chance de 2/3 de ser perdoado. Quem está certo?

É o prisioneiro C. Inicialmente, os três tinham uma probabilidade de 1/3 para sobreviver. Como o guarda disse o nome de B, então isso pode significar duas coisas:

  • O prisioneiro C vai ser perdoado (probabilidade de 1/3).
  • O prisioneiro A vai ser perdoado e a moeda, quando atirada ao ar, mandou o guarda dizer o nome de B (probabilidade de 1/6).

Isto significa que a probabilidade de A ser perdoado é metade da probabilidade de C ser perdoado – e que B nunca será perdoado. Sendo assim, a probabilidade de A ser perdoado não muda com a informação dada pelo guarda, enquanto a de C aumenta.

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