Dark Mode 137kWh poupados com o Asset 1
i

A opção Dark Mode permite-lhe poupar até 30% de bateria.

Reduza a sua pegada ecológica. Saiba mais

Logótipo da MEO Energia
i

Pedro Correia/Global Imagens

Pedro Correia/Global Imagens

A matemática que explica o tsunami europeu. E português

Porque é que esta pandemia se tornou exponencial? O que é que os números de Itália, Espanha ou França dizem sobre o que nos pode acontecer? O matemático Jorge Buescu explica como se fazem as contas.

O Coronavírus está na mente de todos nós de forma obsessiva. É uma ameaça não comparável a qualquer outra que, em tempo de nossas vidas, enfrentámos; um inimigo invisível que ataca de forma insidiosa, que se propaga exponencialmente, e que mata. Neste artigo irei tentar mostrar por que é que o Coronavírus é tão perigoso, e por que temos em Portugal um horizonte extremamente curto para tentar reagir e colocar em vigor medidas de excepção, que devem ir do estado de sítio a um reforço de emergência dos meios nos serviços de saúde. Temos essencialmente uma semana para tomar medidas drásticas e radicais. Cada dia que passa sem as tomarmos irá medir-se, em muito pouco tempo, num aumento enorme no número de mortos.

Porquê exponencial?

A epidemiologia estuda a forma de propagação de doenças contagiosas. Tratando-se de números, a Matemática tem de intervir. Ora, tal como acontece em Meteorologia ou em Climatologia, a situação é a de estarmos de posse dos dados numéricos actuais e de pretendermos conhecer a evolução futura: no caso da Meteorologia, se vai chover ou fazer sol na próxima semana; no caso da epidemiologia, o que devemos esperar da evolução de uma doença, como é o caso deste vírus. Em resumo: de posse dos dados presentes, queremos prever o futuro.

A situação em Portugal vai piorar muito antes de começar a melhorar. Mas para melhorar temos de agir. Cada dia que passa sem nada fazermos é um dia, dentro de duas semanas, com mais mortos desnecessários.

Isso é feito através de modelos matemáticos. Em ambos os casos existem leis matemáticas que regem os fenómenos e que se traduzem em equações diferenciais. Resolver essas equações diferenciais, que em geral tem de ser feito por métodos computacionais, permite-nos conhecer a evolução futura dos fenómenos em avanço. É assim que é realizada a previsão numérica do tempo, em Meteorologia, que nos dá todos aqueles mapas de tempo maravilhosos a que acedemos no telemóvel; as leis relevantes são as leis de Newton aplicadas à dinâmica da atmosfera. E é assim que acontece também em Epidemiologia, em que as leis matemáticas são genericamente designadas por “modelos de compartimentos”, dos quais o primeiro e mais comum é o modelo SIR, formulado em 1927 por Kermack e McKendrick.

Os modelos de compartimentos formulam lei matemáticas que modelam o comportamento dinâmico de uma doença dentro de uma população. O nome SIR descreve esta mesma ideia: numa população, S é o número de pessoas Susceptíveis de ser infectadas, I o de pessoas infectadas, R o de Recuperadas. Cada um destes grupos é um compartimento, mas eles não são estanques: os números dependem do tempo. A doença infecta os susceptíveis, tornando-os infectados; e os infectados eventualmente acabarão por recuperar (ou não; já lá iremos). A dinâmica da propagação é então dada pelo esquema de compartimentos:

dr

dr

Este esquema traduz-se num sistema de três equações diferenciais, cujas soluções descrevem a doença ao longo do tempo e nos permitem saber o que vai acontecer. Uma solução típica do modelo SIR mostra-se abaixo (retirado da Wikipedia).

dr

dr

Note-se que aqui os susceptíveis estão representados a azul, os infectados a verde e os recuperados a vermelho. No caso representado, inicialmente toda a população é susceptível: não existe imunidade. A introdução de um infectado e dos contactos sociais faz com que a doença se propague (verde). Passado algum tempo, começam a surgir recuperados (vermelho). A doença acabará por ter um pico, acabando por regredir à medida que a população construir imunidades de grupo.

Para imunidade zero (como é o caso do Coronavírus), a fase inicial da propagação é necessariamente exponencial. Este facto não é discutível; é uma propriedade matemática das soluções do modelo SIR e pode ser considerado uma lei epidemiológica. Foi assim particularmente penoso assistir ao discurso errático dos nossos responsáveis de saúde a este respeito.

É fundamental notar que estas curvas dependem crucialmente de parâmetros que variam radicalmente de doença para doença: taxa de propagação, tempo de incubação e de recuperação, etc.

Note-se também que, para imunidade zero (como é o caso do Coronavírus), a fase inicial da propagação é necessariamente exponencial. Este facto não é discutível; é uma propriedade matemática das soluções do modelo SIR e pode ser considerado uma lei epidemiológica. Foi assim particularmente penoso, porque com consequências potencialmente dramáticas, assistir esta semana ao discurso errático dos nossos responsáveis de saúde a este respeito, que só pode ser considerado um verdadeiro estado de negação.

A fase inicial da propagação é assim de crescimento exponencial, até que surge um momento de abrandamento – em termos matemáticos chamado ponto de inflexão – em que o crescimento abranda, sinalizando a existência de um pico no horizonte. Neste gráfico ele estará perto do ponto x=13.

No caso do coronavírus, que era até há dois meses desconhecido, estamos a dar os primeiros passos na estimação dos parâmetros. Neste momento ninguém sabe, nesta fase europeia, onde se situa o pico: não há dados para o afirmar. Não há ponto de inflexão à vista: estamos ainda na fase exponencial da curva verde, e ninguém sabe exactamente em que ponto nem até quando esta durará.

O modelo SIR pode ser refinado em função da doença: com novos compartimentos (por exemplo E (expostos) ou D (mortos), ou com outras dinâmicas (outras setas no diagrama: por exemplo se houver reinfecções). Mas em qualquer dos casos, para imunidade zero a dinâmica inicial é sempre dada pela fase inicial da curva verde: uma exponencial.

É exactamente esta a situação em que estamos na Europa com o coronavírus.

O que está a acontecer na Europa

Quando o vírus surgiu na Europa o surto na China já tinha ocorrido. Sabemos já algumas coisas importantes sobre o vírus. Infelizmente, elas indicam que ele terá muito mais gravidade na Europa do que na China.

Eis algumas das conclusões que a missão da OMS em Wuhan descobriu em Fevereiro. O coronavírus tem uma taxa de contágio diferenciada em função da idade, propagando-se mais facilmente em faixas etárias mais avançadas. Para piorar as coisas, a taxa de mortalidade é crescente com a faixa etária, sendo residual na faixa 0-9 anos e crescendo até 15% dos infectados na faixa de 80 ou mais. Eis os dados da OMS.

dr

dr

Estes resultados devem ser lidos da seguinte forma: a segunda coluna dá a percentagem dos infectados que pertence à faixa etária em questão (por exemplo, entre todos os infectados, 8,4% tinham entre 20 e 29 anos).  A terceira coluna diz qual é a percentagem que, nos infectados dessa faixa etária, morreu. A mortalidade do surto de Wuhan, calculada em 20 de Fevereiro pela OMS, foi de 3,8%.

57% da população europeia está concentrada na faixa acima de 40 anos, em que tanto a susceptibilidade à infecção como a sua mortalidade disparam. Devemos portanto esperar para fase europeia da epidemia tanto uma maior taxa de contágio como uma muito maior mortalidade. Ou seja, que o surto seja muito mais grave do que o de Wuhan.

A demografia europeia tem, infelizmente para nós, uma estrutura completamente diferente da de Wuhan. Esta região tem uma percentagem dominante de jovens; 60% da população está abaixo dos 39 anos. A Europa é, como sabemos, um continente muito mais envelhecido. No caso português, a população na faixa dos 0 aos 39 anos é 43% (dados do INE). Significa pois que 57% da população está concentrada na faixa acima de 40 anos, em que tanto a susceptibilidade à infecção como a sua mortalidade disparam. Devemos portanto esperar para fase europeia da epidemia tanto uma maior taxa de contágio como uma muito maior mortalidade. Ou seja, é de esperar que o surto na Europa seja muito mais grave do que o de Wuhan.

Infelizmente, é exactamente isto que estamos a observar. Reproduzo aqui gráficos com a evolução do número infectados em quatro países europeus em fase avançada do surto: Itália, França, Alemanha e Espanha ao dia de ontem (14 de Março). Os dados foram retirados daqui, onde podem ser seguidos em tempo real.

dr

Só olhando para as curvas podemos verificar que, em todos os casos, a evolução é exponencial. Como físico de formação e matemático de profissão, devo dizer que nunca na minha carreira de mais de 30 anos um ajuste mais exacto entre pontos experimentais e uma curva prevista teoricamente, neste caso a exponencial prevista pelo modelo SIR. Com um ajuste comparável só talvez as curvas de decaimento radioactivo dos núcleos atómicos.

Uma primeira conclusão é que, independentemente das retóricas dos dirigentes políticos de cada um destes países, está a acontecer exactamente a mesma coisa em todos eles. O coronavírus é indomável e está a crescer exponencialmente em todos os países afectados. A única diferença entre estes é que ele surgiu, e explodiu, primeiro em Itália, que portanto está numa fase mais avançada. Analisando os dados, concluímos que a Espanha está neste momento com 7-8 dias de atraso em relação a Itália, a Alemanha e a França com 8-9 dias.

O facto de os números diários serem públicos é uma informação preciosa, e não permite que a realidade seja ocultada por políticos negacionistas (como Trump ou Boris Johnson fizeram até há pouco) ou por comissários políticos. Qualquer pessoa que saiba fazer as contas as pode fazer. A disponibilidade dos dados permite-nos calcular os parâmetros de cada uma das curvas, o que permite prever a evolução diária. Assim, é possível calcular as taxas de crescimento de casos de infecção para cada um dos países. Apresentam-se os seus valores, a 14 de Março, para cada um dos países.

dr

dr

Este números são absolutamente assustadores. Note-se que são taxas de crescimento diárias. Para compreendermos bem o que significam estas taxas de crescimento exponencial, nos casos de Itália e da Alemanha correspondem a mais do que duplicar o número de infectados a cada quatro dias; no caso de França a mais do que duplicar a cada três dias; e no caso espanhol quase duplicar em dois dias. Note bem: duplicar em dois dias, todos os dois dias!

O caso espanhol é particularmente grave (e, portanto, particularmente preocupante para Portugal, pois é o único país com quem temos fronteira). Há uma semana Espanha tinha um atraso em relação a Itália semelhante ao de França e da Alemanha, entre 9 e 10 dias. Infelizmente não quis ver os sinais, esteve em negação e não tomou medidas a tempo. A exponencial não perdoa: com uma taxa de 39% já avançou em direcção ao abismo. Neste momento já está apenas a 7-8 dias de Itália, enquanto Alemanha e França estão, como foi referido, a 8-9 dias.

No momento em que escrevo estas linhas, Itália é, para sua desgraça, o verdadeiro tubo de ensaio da Europa. O que acontecer em Itália em função das medidas drásticas tomadas indicará o que vai acontecer nos outros países europeus. Ora as notícias que vêm de Itália não permitem, neste momento, grande optimismo. O ponto de inflexão referido na primeira secção deste artigo não está ainda à vista. Pelo contrário, parece uma miragem no deserto: de cada vez que, num dia, temos esperança de o vislumbrar, no dia seguinte ele esfuma-se e a exponencial esmaga-nos de novo, para nosso desespero. Aconteceu de 8 para 9 de Março e de 13 para 14 de Março.

Neste momento não há forma de prever quando irá parar a fase exponencial nem quando será o pico da doença. Ninguém sabe. Na Alemanha, Angela Merkel afirmou que a doença irá afectar 70% dos alemães. Não foi uma afirmação feita com ligeireza: de acordo com os modelos epidemiológicos não é apenas possível, como sem indicação em contrário – que neste momento não existe – é, a cada dia que passa, cada vez mais provável.

Não é exagero dizer que a Europa está a ser engolida por um tsunami.

E Portugal?

O leitor está naturalmente ansioso por saber o que se passa em Portugal. Por tudo o que ficou para trás, não será surpresa se lhe disser que a nossa evolução é exponencial – aliás, e contrariamente ao que disseram os nossos responsáveis até ontem, sempre foi exponencial, como era inevitável pelas leis da epidemiologia. O leitor pode ver abaixo o gráfico, retirado daqui.

dr

dr

No dia de hoje (domingo) foi comunicado que o número de casos detectado em Portugal a 14 de Março foi de 245. Podemos portanto estimar os parâmetros da curva da evolução em Portugal. Com os dados disponíveis obtém-se uma taxa de progressão diária de 40,8%, superior portanto a de todos os outros países nesta comparação, e só comparável à de Espanha. Em números redondos, com esta taxa o número de novos casos vai duplicar a cada dois dias.

Não tenha o leitor a menor dúvida: está a aproximar-se de Portugal um gigantesco tsunami com um potencial de destruição humana inimaginável. Muitas pessoas ainda vivem como se estivéssemos numa calma expectativa de que talvez ele passe ao largo. Não tenha ilusões: ele está aí a rebentar, já esta semana.

Há 10 dias que faço projecções para Portugal tendo em conta os dados mais recentes. Infelizmente, as minhas estimativas têm-se revelado conservadoras e errado por defeito. Outra forma de dizer o mesmo é que a propagação tem todos os dias acelerado, talvez por as autoridades sanitárias estarem a perder o controlo da situação. Ontem mesmo saiu no Expresso um conjunto de três cenários, que já estavam ultrapassados na altura da publicação. Hoje publico apenas dois, pois o cenário “à italiana” lá publicado está fora de questão: deveríamos ter tomado as medidas italianas há uma semana.

A estimativa superior baseia-se na actual situação; a estimativa inferior baseia-se nos resultados que as medidas de mitigação parcial, adoptadas pelo Governo na sexta-feira, obteve nos países europeus analisados, particularmente Alemanha e França. Note-se, contudo, que se trata de um cenário muito conservador, talvez mesmo optimista, pois estas medidas demoram pelo menos uma semana a ter efeitos sensíveis. Assim, é provável que a evolução real esteja mais próxima do limite superior do que do inferior.

Não tenha o leitor a menor dúvida: está a aproximar-se de Portugal um gigantesco tsunami com um potencial de destruição humana inimaginável. Um tsunami invisível, e talvez por isso ainda mais perigoso: muitas pessoas ainda vivem como se estivéssemos numa calma expectativa de que talvez ele passe ao largo. Não tenha ilusões: ele está aí a rebentar, já esta semana.

Para piorar todo este cenário o tsunami do coronavírus encontra-nos muito mais impreparados do que aos nossos parceiros europeus e, portanto, em situação de muito maior fragilidade. No artigo The variability of critical care beds in Europe, os autores mostram que, em 2012, Portugal era o país da Europa com o menor números de camas de cuidados intensivos per capita da Europa, três vezes inferior ao de Itália e sete vezes inferior ao da Alemanha.

dr

Portugal tinha, a esta data, 451 camas de cuidados intensivos; desde então, a situação pode ter melhorado ligeiramente mas não estruturalmente. Serão talvez 500 a 600 camas de UCI equipadas com ventilador, a maior parte das quais, naturalmente, já ocupadas com outros doentes.

Confronte-se então este número com o que nos espera nesta crise. A taxa de infectados por coronavírus que precisam de cuidados intensivos é de 5%. As minhas projecções indicam que, no dia 23/3, teremos um número de infectados da ordem de 3000. Teremos portanto 150 doentes a precisar de camas de cuidados intensivos. Com grande probabilidade não existe esse número de camas disponíveis em todo o País. E portanto, os serviços entrarão em colapso por falta de meios e os médicos terão de tomar, como já acontece em Itália há mais de uma semana, decisões de vida ou de morte, decidindo quem fica com o ventilador.

Escrevo estas linhas no dia 15 de Março. Dentro de muito poucos dias vão começar a aparecer os primeiros mortos. E o dia 23 está apenas a oito dias de distância.

O que estamos a fazer chega?

Não, de forma nenhuma.

Por um lado, devido ao elevado período de incubação, só ao fim de uma semana se podem começar a sentir efeitos sensíveis. A Itália só agora está a começar a sentir os primeiros efeitos do estado de sítio que assumiu a 8 de Março. No entanto, os efeitos estão a ser mínimos: a taxa diminuiu residualmente, de 22% para os actuais 20%; o crescimento continua exponencial – como disse acima, duplicando o número de infectados a cada 4 dias. Em Alemanha e em França, com medidas menos radicais e semelhantes às que Portugal decidiu tomar na sexta-feira, não se registaram por enquanto alterações significativas.

Portanto, não devemos nem podemos supor que as medidas de mitigação adoptadas pelo Governo, mesmo quando estiverem a ter efeito, nos conduzam a um cenário mais favorável do que o actual franco-alemão. Por outro lado, como a nossa taxa é superior à desses países, a cada dia que passa nos aproximamos mais deles, como acontece com Espanha. Desde que comecei a publicar as minhas projecções, aproximámo-nos um dia de Itália, França e Alemanha. A nossa distância actual é de 18-19 dias para Itália e 9-10 dias para França e Alemanha.

Desinfacção de carruagens do Metro de Lisboa

FILIPE AMORIM/OBSERVADOR

Por outro lado, é necessário tomar em conta que, como descrevi acima, os meios médicos e clínicos de que o nosso país dispõe são muito mais limitados do que os da Alemanha ou de Itália. De resto, creio que é em boa parte por dispor de muitos meios que a infecção na Alemanha tem uma taxa de mortalidade particularmente baixa. Mas a Alemanha tem consciência do tsunami, e já anunciou que apesar de ser o país mais bem equipado deixou de vender ventiladores a outros países.

Temos de agir, e temos uma semana para agir. Se tivemos a sorte de o coronavírus ter chegado a Portugal com um atraso grande em relação a outros países, temos de tirar partido dessa vantagem – e agir já. Esta é uma verdadeira emergência nacional.

O que devemos fazer? Tudo o que pudermos. Diz o Governo que o que acontecer depende de cada um de nós. É verdade, mas não é toda a verdade. Não estamos entregues a nós próprios: estamos num cenário de guerra e temos um Governo que não pode ter medo de agir e de tomar medidas muito difíceis. Tempos de excepção exigem medidas de excepção.

A Coreia do Sul estabeleceu um sistema de rastreio muito rigoroso, testando pessoas em casa e em meia centena de drive-ins onde se pode fazer o teste sem contacto humano. É o segundo país do Mundo com mais testes per capita. E é o único, excluindo a China, que conseguiu controlar o surto. Já passou o ponto de inflexão e tem um número final estimado em 12.000 a 15.000 casos.

Em primeiro lugar, fechar as fronteiras de imediato. Ontem mesmo entraram em Portugal dois camionistas italianos infectados, que só foram parados na Guarda. Cada caso destes significa, daqui a 15 dias, centenas de casos novos.

Em segundo lugar, decretar o lockdown imediato do País, à italiana. Fechar o comércio, bares, restaurantes, cafés, tudo. Isolamento social completo e limitações drásticas à circulação de pessoas. Todos os eventos sociais cancelados. Decretar o recolher obrigatório, chamemos-lhe estado de sítio ou de emergência. Ficariam abertos apenas farmácias e mercados para bens essenciais, sendo atendida uma pessoa de cada vez.

Em terceiro lugar, impor de imediato um regime de testes de rastreio obrigatórios para as pessoas que estiveram em contacto prévio com os infectados. A Coreia do Sul estabeleceu um sistema de rastreio muito rigoroso, testando pessoas em casa e incluindo meia centena de drive-ins onde se pode fazer o teste sem contacto humano. É o segundo país do Mundo onde se fazem mais testes per capita. E é o único, excluindo a China, que conseguiu controlar o surto. Já passou o ponto de inflexão e tem um número final estimado em 12.000 a 15.000 casos.

Em terceiro lugar, os serviços de saúde, particularmente os de cuidados intensivos, precisam de ser urgentemente reforçados. Não daqui a um mês: amanhã. Constitua-se hoje um gabinete de crise para identificar que meios fazem mais falta nesta emergência, e compre-se de imediato – sem visto das Finanças, sem concursos, sem cativações, sem esperas. Mandem-se vir ventiladores e equipamentos de emergência da China pagando o que for preciso, e peça-se formalmente ajuda à China, como fez Itália esta semana. Amanhã. Se há uns anos o Ministro das Finanças dizia que não havia dinheiro, agora nós dizemos: não há tempo!

Comece a fazer-se já um orçamento de emergência para a saúde. Se há certeza que podemos ter é de que os próximos meses serão muito complicados e trarão muitas emergências imprevisíveis. Se há almofada orçamental, tanto melhor – é para uma crise destas que ela estava guardada. Se não houver, que haja défice.

A situação em Portugal vai piorar muito antes de começar a melhorar. Mas para melhorar temos de agir. Cada dia que passa sem nada fazermos é um dia, dentro de duas semanas, com mais mortos desnecessários.

Recomendamos

A página está a demorar muito tempo.