Ciência

17 equações que mudaram o mundo (atenção, artigo para especialistas)

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Talvez até tenha fugido da matemática, mas apostamos que já ouviu falar pelo menos duas ou três das "17 das equações que mudaram o mundo". Embora seja para especialistas, vale a pena ler.

Um detalhe do manuscrito de 46 páginas de Teoria Geral da Relatividade de Einstein, uma das "17 equações que mudaram o mundo"

David Silverman/Getty Images

Autor
  • Elsa Araújo Rodrigues

A matemática é essencial ao nosso conhecimento do mundo e é a base de muitas áreas do conhecimento: da engenharia à biologia, da física à química e às ciências sociais.  Talvez até tenha fugido da matemática no seu percurso académico, mas apostamos que já ouviu falar de algumas “17 das equações que mudaram o mundo, explicadas pelo matemático e autor de ciência Ian Stewart, num livro com o mesmo nome.

Conheça ou relembre algumas destas equações na lista que se segue, compiladas pelo Business Insider, a propósito da tabela que sintetiza o rol, publicado no Twitter pelo físico Paul Coxon:

1. Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras é um das enunciações mais conhecidas desta lista e um dos fundamentos da geometria. O teorema descreve a relação entre os lados de um triângulo retângulo (os dois lados mais ‘curtos’ formam um ângulo de 90º) sobre uma superfície plana. E os de melhor memória ainda se lembram da fórmula de ‘cor de salteado’: a soma dos quadrados dos catetos (lados mais ‘curtos’ do triângulo retângulo) é igual ao quadrado da hipotenusa (o lado mais longo do triângulo retângulo).

2. Logaritmos
Os logaritmos são o oposto das funções exponenciais. Um logaritmo para uma determinada base indica quantas vezes é preciso aumentar essa base para obter um número. Por exemplo, o logaritmo de base 10 é um registo (1) = 0, a partir de 1 = 100; log (10) = 1, uma vez que 10 = 101; e log (100) = 2, uma vez que 100 = 102. Uma das aplicações mais úteis dos logaritmos é o seu o poder de transformar a multiplicação em adição e facilitar (muito) os cálculos complexos da física, astronomia e engenharia. Antes do advento do computador, o recurso aos logaritmos era a forma mais comum de multiplicar rapidamente grandes números.

3. Quociente de Newton (ou derivada de uma função)
As derivadas de uma função calculam a taxa de variação de um parâmetro. Lembra-se daqueles exercícios que começavam por enunciados do tipo, “se um veículo percorrer 5 km em 10 minutos, quanto tempo demorará a percorrer 22 km”? É um exemplo simples de uma derivada de função ou quociente de Newton. A velocidade, o tempo, a taxa de crescimento são exemplos de funções que variam. E as derivadas são o instrumento de cálculos destas variações ou mudanças. Um dos objetivos da Ciência é tentar perceber como as coisas mudam e as derivadas e as integrais – outro dos fundamentos do cálculo – são fundamentais para entender a mudança.

4. Lei da Gravidade
A lei de Newton é das mais notáveis da História da Ciência, pela sua universalidade. A lei explica de forma quase perfeita como e porque se movem os planetas. Explica, não só a gravidade na Terra, mas também em qualquer lugar do universo. Newton demonstrou que a acção da gravidade é igual, seja na Terra ou em qualquer outro ponto do sistema solar: quanto maior a massa do objeto, maior a força que o atrai para baixo. A Lei da Gravidade de Newton, ou Lei da Gravitação Universal, descreve a força da gravidade entre dois objetos (F), em termos de uma constante universal (G) e as massas dos dois objetos (M1 e M2) e a distância entre os objetos (r). Mais tarde, a teoria de Newton seria redefinida pela Teoria Geral da Relatividade de Einstein.

5. Números complexos (raiz quadrada de -1)
O que é um número? Para os matemáticos a resposta a esta questão não é linear, pois é um conceito em constante expansão. Existem números naturais, números negativos, frações, números reais. A raiz quadrada de -1, representada graficamente por “i”, está na origem dos números complexos, de que fazem parte todos os outros conjuntos numéricos. Estes números são considerados “elegantes” porque graças a eles, a álgebra funciona de forma perfeita: todas as equações podem ter como solução um número complexo, o que não acontece quando se trata de números reais. Essas propriedades tornam os números complexos essenciais para a Física, e a Engenharia, em particular no campo da Eletrónica.

6. Relação de Euler
A relação de Euler é a fórmula dos poliedros, criada pelo matemático Leonhard Euler. Poliedros são as versões tridimensionais de polígonos. Por exemplo, o cubo é um poliedro. Os cantos de um poliedro são os vértices, as linhas que ligam os vértices são as arestas, e os polígonos que os cobrem são as faces. A fórmula dos poliedros enuncia que subtraindo o número de vértices (V) pelo de arestas (A), e somando ao número de faces (F), independentemente do formato do poliedro, o resultado será sempre número 2 (V– A + F = 2). A relação de Euler contribuiu de forma decisiva para o desenvolvimento da topologia, um ramo da matemática essencial para a física moderna.

7. Distribuição Normal ou Curva de Gauss
A distribuição normal, também conhecida por curva de Gauss ou curva em sino, enuncia a distribuição da probabilidade média e é recorrente em estatística, apesar de também ser utilizada na física, na biologia e nas ciências sociais. A distribuição de Gauss descreve padrões de distribuição de grandes grupo, como, por exemplo o comportamento de grandes grupos sociais, como a distribuição de uma população.

8. Equação da onda
A equação de onda é usada para descrever o comportamento de ondas – como, por exemplo, o movimento das cordas de uma guitarra, o movimento de ondulação que ocorre quando lançamos uma pedra à água, ou o movimento da luz de uma lâmpada incandescente. A equação da onda é uma equação diferencial, utilizada para calcular a propriedade de algo que está a mudar ao longo do tempo, em termos derivativos. Este tipo de equações é especialmente importante nas áreas da acústica e eletromagnetismo.

9. Transformada de Fourier
A transformada de Fourier é um enunciado matemático essencial para entender as estruturas de onda complexas, como a fala humana. A transformada de Fourier permite a ‘divisão’ de uma onda complicada como a da gravação de uma voz humana, em ondas mais simples, o que ajuda a simplificar a análise. Este enunciado é fundamental para o nálise e processamento de sinais e compressão de dados.

10. Equações de Navier-Stokes
As equações de Navier-Stokes também são equações diferenciais, como as equações de onda. Aplicam-se ao cálculo matemático do movimento dos fluídos, líquidos e gasosos. Como, por exemplo, o movimento da água através de um tubo ou o fluxo de ar sob a asa de um avião. As equações de Navier-Stokes ainda são uma questão em aberto, no sentido em que ainda se procura uma solução matematicamente exata para as equações (que, neste momento, vale um prémio de um milhão de dólares). As soluções encontradas até ao momento baseiam-se em aproximações, realizadas através de simulações por computador.

11. Equações de Maxwell
As equações de Maxwell descrevem comportamento e relacionamento entre a electricidade (E) e o magnetismo (H). Estas equações estão para o eletromagnetismo clássico como as leis do movimento e da lei da gravitação universal de Newton estão para a mecânica clássica. As equações de Maxwell explicam o funcionamento de base do eletromagnetismo à escala humana. Mas a física moderna apoia-se na explicação da mecânica quântica do eletromagnetismo, o que significa que as equações de Maxwell são apenas uma aproximação que funciona bem em escalas humanas.

12. Segunda Lei da Termodinâmica
A segunda lei da termodinâmica enuncia que num sistema fechado, a entropia (S) ou é máxima ou está a aumentar. A entropia termodinâmica mede a desordem de um sistema: qualquer sistema que começa num estado ordenado, mas desigual – por exemplo, a mistura de um líquido frio como um líquido quente – terá sempre tendência a equilibrar-se. O calor fluirá do líquido quente para o frio até estar distribuído de forma uniforme.

A segunda lei da termodinâmica é um dos poucos casos na Física onde o tempo é um fator relevante. A maioria dos processos físicos são reversíveis – podemos executar as equações ‘de trás para frente’. Mas a segunda lei da termodinâmica só ‘funciona’ numa direção. Não podemos separar água morna em água fria e quente.

13. Teoria Geral da Relatividade de Einstein
A Teoria da Geral da Relatividade enuncia a relação imbricada entre espaço, tempo, massa e gravidade. A famosa fórmula E=mc², que a representa, mostra como matéria e energia são equivalentes, e evidencia também a relatividade do fator tempo, que depende da velocidade da deslocação (o tempo passa ‘mais rápido’ ou ‘mais devagar’ para pessoas que se mexem mais ou menos depressa). Com as teorias da relatividade especial e geral, o físico alemão mudou radicalmente o curso da Física. A relatividade especial enuncia que a velocidade da luz funciona como ‘limite universal de velocidade’. E a relatividade geral descreve a gravidade como algo que ‘curva e dobra’ as noções de tempo e espaço, o que representou um avanço significativo em relação à Lei da Gravitação Universal de Newton. A teoria geral da relatividade geral é essencial para a nossa compreensão da origem, estrutura e destino final do Universo. A nível mais prático e imediato, a teoria da relatividade é importante para a programação dos satélites do GPS.

14. Equação de Schrodinger
Esta equação é o principal enunciado da Mecânica Quântica. A Teoria Geral da Relatividade explica o funcionamento do Universo em larga escala, e a equação de Schrodinger explica a ‘pequena escala’, pois versa sobre o comportamento dos átomos e das partículas subatómicas.

A mecânica quântica e a relatividade modernas são consideradas duas das teorias científicas mais bem sucedidas da história – todas as observações experimentais realizadas até ao estado atual da arte são consistentes com as suas previsões. A mecânica quântica é fundamental para a tecnologia moderna: a energia nuclear, os computadores baseados em semicondutores e os lasers são todos construídos em torno de fenómenos quânticos.

15. Teoria da Informação
Esta teoria é baseada na equação de Shanon que versa sobre a entropia da informação. Tal como a segunda lei da termodinâmica, também analisa a entropia, ou seja, avalia a desordem do sistema. Neste caso, a desordem no sistema composto pelo conteúdo informativo de uma mensagem que possa ser representada fisicamente, por exemplo, uma fotografia enviada pela Internet. A equação de Shanon avalia a compressão máxima de um ficheiro sem que ocorra perda de dados, em níveis de bits. Esta medida matemática no grau de entropia lançou o estudo matemático da comunicação e os seus resultados influenciam de forma decisiva a forma como comunicamos atualmente.

16. Teoria do Caos
A equação da Teoria do Caos relaciona os conceitos de tempo e causalidade. A formulação da Teoria do Caos indica como um movimento – por mais discreto que seja – no início de um processo pode ser amplificado e ter grandes consequências no futuro. Um exemplo clássico efeito borboleta que diz que o “bater das asas de uma borboleta no Japão, pode provocar um furacão no outro lado do mundo”. O enunciado refere-se ao comportamento caótico dos processos: se começarmos com um valor inicial de “x”, o processo irá evoluir de uma maneira, mas se começarmos com outro valor inicial, mesmo que seja muito, muito perto do primeiro valor, o processo irá evoluir de forma completamente diferente.

17. Fórmula de Black-Scholes
A fórmula de Black-Scholes também é uma equação diferencial utilizada para calcular preços para derivativos. A equação é muito aplicada por especialistas em finanças e é utilizada para criar produtos financeiros complexos, baseados em ativos subjacentes, como um stock de determinado bem, por exemplo, e na ‘previsão de como este se vai comportar (ou derivar). Os derivativos transformaram-se numa parte importante do sistema financeiro moderno.

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