Ciência

Um segredo com 80 anos: como o número pi conecta a matemática e física quântica

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Investigadores da Universidade de Rochester, nos Estados Unidos, encontraram a fórmula matemática π (pi) escondida numa fórmula de física quântica do átomo de hidrogénio.

As páginas do livro de John Wallis, Arithmetica Infinitorum (1656),onde descreve a sua fórmula.

Durante os anos escolares aprendemos que o π (pi) é um número irracional (aproximadamente 3,14) e que representa a razão constante entre o perímetro de qualquer circunferência e o seu diâmetro. Mas o El País conta agora que alguns especialistas da Universidade de Rochester, nos Estados Unidos, descobriram uma relação surpreendente entre o número π (pi) e a física quântica.

Os investigadores publicaram os resultados no Journal of Mathematical Physics, onde revelam que esta constante (o número pi) aparece em várias fórmulas de física quântica utilizadas para calcular o estado de energia dos átomos de hidrogénio.

“Nós encontramos a fórmula clássica de Wallis sobre pi, descrita no século XVII, no campo da física quântica do século XX”, afirmou a professora de matemática e co-autora do estudo, Tamar Friedmann. A fórmula de Wallis foi desenvolvida pelo matemático John Wallis no livro Arithmetica Infinitorum (1656), em que ele descreve o π (pi) como o resultado de uma série infinita de frações de números inteiros.

O El País conta que a descoberta começou nas aulas de um dos autores do estudo, Carl R. Hagen, quando este pediu aos seus alunos que aplicassem o método variacional aos átomos de hidrogénio, uma técnica utilizada para fazer cálculos aproximados dos estados de energia dos sistemas quânticos cujo comportamento não consegue ser analisado apenas à luz da física clássica.

O método variacional é utilizado em sistemas quânticos, cujos estados de energia não podem ser calculados com precisão. No entanto, o átomo de hidrogénio é um dos poucos sistemas quânticos cujos níveis de energia podem ser calculados através de outras técnicas, pelo que a aplicação do método variacional podia ajudar os alunos a detetar margens de erro na sua abordagem. O matemático Hagen começou a resolver o problema e detetou uma tendência. A margem de erro foi de 15% para o estado estável de hidrogénio, 10% para o primeiro estado animado e assim por diante.

Hagen percebeu que a margem de erro ia diminuindo à medida que o estado animado do átomo aumentava e concluiu que isso era incomum, já que o método variacional só dá boas aproximações para os estados de energias mais baixos, mas decidiu contactar a sua colega Tamar Friedman para tirar as suas dúvidas. Tamar Friedman descobriu que ao aumentar a energia, o limite do método variacional se aproximava ao modelo de hidrogénio proposto pelo físico Niels Bohr nos princípios do século XX. O modelo de Niels representava as órbitas de eletrões como sendo perfeitamente circulares.

“Nos estados mais baixos de energia, a trajetória dos eletrões é difusa e dispersa”, explicou Hagen. “Nos estados mais animados, as órbitas ficam mais definidas e a incerteza nos raios da sua órbita é reduzida.”

Um investigador do Instituto de Ciências Matemáticas, David Pérez, esclareceu que estes resultados de Hagen e Friedman dão uma “bela interpretação da fórmula de Wallis em termos das energias que surgem no átomo de hidrogénio”, acrescentando que esta investigação é uma “pequena jóia”, cujo valor não reside nas suas implicações ou na utilidade prática, “mas na sua beleza e raridade”.

Tamar Friedman explica que a teoria da física quântica data dos inícios do século XX e a fórmula de Wallis, de 1656, mas que a conexão entre elas se manteve escondida até agora. “A natureza manteve este segredo durante 80 anos”, disse.

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